A matemática por trás dos vestibulares de engenharia, como o do Instituto Militar de Engenharia (IME), muitas vezes exige um raciocínio combinatório apurado. Questões envolvendo contagem de possibilidades são recorrentes e testam a capacidade do estudante de modelar situações complexas em problemas mais simples de arranjos e combinações.
Dominar a combinatória é fundamental não apenas para garantir pontos valiosos, mas também para desenvolver um pensamento lógico e analítico que será útil em diversas áreas. Se você busca uma preparação de alto nível para os vestibulares mais concorridos, como o IME, e precisa aprofundar seus conhecimentos em tópicos como este, explore os cursos da Filadd e veja como podemos impulsionar sua jornada. Para entender melhor os resultados que nossos alunos alcançam, confira também os depoimentos e as histórias de sucesso.
A questão
[IME- 2010/2011 - 1a fase] Um trem conduzindo 4 homens e 6 mulheres passa por seis estações. Sabe-se que cada um destes passageiros irá desembarcar em qualquer uma das seis estações e que não existe distinção dentre os passageiros de mesmo sexo. O número de possibilidades distintas de desembarque destes passageiros é:
Resolução comentada
Gabarito: D
O problema pede o número de maneiras distintas de 4 homens e 6 mulheres desembarcarem em 6 estações, sem distinção entre passageiros do mesmo sexo.
Primeiro, vamos analisar o caso dos homens. Temos 4 homens idênticos para serem distribuídos em 6 estações distintas. Cada estação pode receber qualquer número de homens, incluindo zero. Este é um problema clássico de combinação com repetição, que pode ser resolvido usando o conceito de "bolas e barras" ou "estrelas e barras".
Temos 4 "bolas" (homens) e precisamos de (6 - 1) = 5 "barras" para separar as 6 estações. O número de maneiras de distribuir os homens é dado pela fórmula C(n + k - 1, k) ou C(n + k - 1, n), onde n é o número de objetos (homens) e k é o número de caixas (estações). Neste caso, n = 4 e k = 6.
C(4 + 6 - 1, 4) = C(9, 4)
C(9, 4) = 9! / (4! (9-4)!) = 9! / (4! 5!) = (9 8 7 6) / (4 3 2 1) = 9 2 7 = 126 maneiras.
Agora, faremos o mesmo para as mulheres. Temos 6 mulheres idênticas para serem distribuídas em 6 estações distintas. Neste caso, n = 6 (mulheres) e k = 6 (estações).
C(6 + 6 - 1, 6) = C(11, 6)
C(11, 6) = 11! / (6! (11-6)!) = 11! / (6! 5!) = (11 10 9 8 7) / (5 4 3 2 1) = 11 2 3 * 7 = 462 maneiras.
Como o desembarque dos homens e o das mulheres são eventos independentes, o número total de possibilidades distintas de desembarque é o produto do número de maneiras de cada grupo:
Total = (Maneiras dos homens) * (Maneiras das mulheres)
Total = 126 * 462
Total = 58.212
- Alternativa A) 1.287: Está incorreta, pois não considera a combinação correta para homens e mulheres separadamente ou o produto final.
- Alternativa B) 14.112: Está incorreta, resultado de um cálculo intermediário ou erro na aplicação da fórmula.
- Alternativa C) 44.200: Está incorreta, não corresponde ao cálculo correto.
- Alternativa E) 62.822: Está incorreta, apresenta um valor diferente do resultado correto.
A alternativa correta é a D) 58.212.
O Segredo da Combinatória: Visualização e Organização
A combinatória pode parecer um bicho de sete cabeças, mas a chave para dominá-la, especialmente em questões de alto nível como as do IME, está na capacidade de visualizar o problema e organizar o raciocínio. Desenhe, esquematize, e teste pequenas variações para entender o padrão. Pergunte-se: "A ordem importa? Há repetição? Os objetos são idênticos ou distintos?". Essas perguntas guiarão você para a fórmula ou método correto.
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