As questões de Geometria Espacial, especialmente as que envolvem cones, cilindros e esferas, são recorrentes nos vestibulares mais desafiadores do Brasil, como o do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Entender as relações métricas entre os elementos de um cone, como altura, raio e geratriz, é fundamental não apenas para resolver problemas complexos, mas também para desenvolver um raciocínio lógico apurado.
Neste artigo, vamos mergulhar em uma questão clássica do ITA de 1999 que exige justamente essa compreensão aprofundada, mostrando que a maestria sobre os conceitos básicos pode ser o seu diferencial na busca pela aprovação. Prepare-se para solidificar seus conhecimentos e ver como a matemática do ensino médio se aplica de forma elegante em desafios de alto nível, um caminho que a Filadd percorre com você.
A questão
(ITA 1999) Num cone circular reto, a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz. A razão entre a altura e o raio da base é:
Resolução comentada
Gabarito: E
A questão nos informa que, em um cone circular reto, a altura (h) é a média geométrica entre o raio da base (r) e a geratriz (g).
- A média geométrica de dois números a e b é dada por \(\sqrt{ab}\). Assim, a condição dada pode ser escrita como: \(h = \sqrt{r \cdot g}\).
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
- \(h^2 = r \cdot g\).
Sabemos que, em um cone circular reto, a relação entre altura, raio e geratriz é dada pelo Teorema de Pitágoras: \(g^2 = h^2 + r^2\).
Agora, temos um sistema de duas equações com três variáveis (h, r, g):
1. \(h^2 = r \cdot g\)
2. \(g^2 = h^2 + r^2\)
Vamos substituir a primeira equação na segunda para eliminar \(h^2\):
- \(g^2 = (r \cdot g) + r^2\)
Queremos encontrar a razão entre a altura e o raio da base, ou seja, \(\frac{h}{r}\). Para isso, podemos tentar expressar \(g\) em função de \(r\) e \(h\).
Voltando à equação \(g^2 = rg + r^2\), podemos dividir todos os termos por \(r^2\) (assumindo \(r \neq 0\), o que é válido para um cone):
- \(\frac{g^2}{r^2} = \frac{rg}{r^2} + \frac{r^2}{r^2}\)
- \(\left(\frac{g}{r}\right)^2 = \frac{g}{r} + 1\)
Seja \(x = \frac{g}{r}\). A equação se torna:
- \(x^2 = x + 1\)
- \(x^2 - x - 1 = 0\)
Podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
- \(x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}\)
- \(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}\)
- \(x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)
Como \(g\) e \(r\) são medidas de comprimento, \(x = \frac{g}{r}\) deve ser positivo. Assim, consideramos apenas a solução positiva:
- \(x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)
- Portanto, \(\frac{g}{r} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).
Agora, precisamos encontrar \(\frac{h}{r}\). Da primeira equação, \(h^2 = r \cdot g\).
Dividindo ambos os lados por \(r^2\):
- \(\frac{h^2}{r^2} = \frac{r \cdot g}{r^2}\)
- \(\left(\frac{h}{r}\right)^2 = \frac{g}{r}\)
Substituímos o valor de \(\frac{g}{r}\) que encontramos:
- \(\left(\frac{h}{r}\right)^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)
Para encontrar \(\frac{h}{r}\), tiramos a raiz quadrada de ambos os lados (considerando apenas o valor positivo, pois h e r são comprimentos):
- \(\frac{h}{r} = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}\).
Verificando as alternativas (não fornecidas, mas considerando que a resposta é E), essa expressão é a forma esperada para a razão entre a altura e o raio da base.
As outras alternativas estariam incorretas porque não satisfariam as duas condições métricas do cone simultaneamente, seja pela definição da média geométrica ou pela relação pitagórica entre seus elementos. O erro comum seria manipular as equações de forma incorreta ou não aplicar o teorema de Pitágoras adequadamente.
Dominando a Geometria Espacial para o ITA 2026
Questões como esta do ITA de 1999 demonstram a importância de uma base sólida em Geometria Espacial para quem almeja as universidades mais concorridas. A capacidade de articular diferentes conceitos — neste caso, a média geométrica e o Teorema de Pitágoras — é um diferencial que se constrói com prática e um acompanhamento de qualidade.
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